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高中数学应用问题的教学

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摘要:培养和提高中学生的数学应用意识,是中学数学教育教学的迫切要求。本文对高
中数学应用问题的教学进行了探讨。
关键词:数学应用问题;数学应用意识;学生
作者简介:文兴奎,任教于甘肃临洮二中。
        培养和提高中学生的数学应用意识,是中学数学教育教学的迫切要求,在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养。近年来高考中,对应用问题的考查逐年增大了。 
        一、高中数学教材中的应用问题
        1.每一章的序言都编排了一个现实中的应用问题,引入该章的知识内容,以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题:“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数 ”的计算作为章头序言,激发学习欲望,增加教材内容的趣味性。
        在教材的编排上,既用通俗易懂的语言陈述问题,又附以插图增强直观形象性、趣味性。 
        2.在研究“具体问题”时以实际例子引入课题 
        高中数学的十章内容中,分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当地运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数,用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景,为顺利解决问题作了铺垫。 
        3.例题中的应用问题 
        例题中安排应用问题,一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识,而且通过范例讲解,使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的,占例题总数的14.6%,它们都非常接近学生的生活实际和所学知识,难易适中,示范性强。 
        4.练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量 
        为使学生巩固所学知识,逐步提高分析问题、解决问题的能力,新教材在练习题、习题、复习题中增加了大量的应用问题,其中练习题有45题,占总数的12.4%;习题有 105题,占总数的18.15%;复习题有50题,占总数的14.91%。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题、储蓄等各个方面,量大面宽,情景新颖,融知识性、趣味性、自主实践性于一体。 
        二、高中数学应用题问题的教学实践
        高中学生年龄一般在15~17周岁,他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平,但智力活动带有明显的随意性,其抽象思维从“经验型”向“理论型”急剧转化,能够逐步摆脱具体形象和直接经验的限制,借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动,开始在教师帮助下独立地搜集事实材料,进行分析综合,抽象概括事物的本质属性。因此,应结合学生的心理特点和思维规律进行应用问题的教学。 
        1.重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练
        为培养学生的应用意识,提高学生分析问题、解决问题的能力,教学中首先应结合具体问题,教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程、建模思想。 
        教学应用题的常规思路是:将实际问题抽象、概括、转化——数学问题——解决数学问题——回答实际问题。具体可按以下程序进行: 
        (1)审题:由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性,往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题,舍弃与数学无关的因素,抽象转化成数学问题,分清条件和结论,理顺数量关系。为此,引导学生从粗读到细研,冷静、缜密地阅读题目,明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示,以帮助学生将实际问题数学化。 
        (2)建模:明白题意后,再进一步引导学生分析题目中各量的特点,哪些是已知的,哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示,它们之间存在着怎样的联系?将文字语言转化成数学语言或图形语言,找到与此相联系的数学知识,建成数学模型。 
        (3)求解数学问题,得出数学结论 
        (4)还原:将得到的结论,根据实际意义适当增删,还原为实际问题。
         例:某城市现有人口总数100万人,如果年自然增长率为1.2%,写出该城市人口总数y(人)与年份x(年)的函数关系式:
        这是一道人口增长率问题,教学时为帮助学生审题,笔者在指导学生阅读题时提出以下要求: 
        (1)粗读,题目中涉及到哪些关键语句,哪些有用信息?解释“年自然增长率”的词义,指出:城市现有人口、年份、增长率,城市变化后的人口数等关键量。 
        (2)细想,问题中各量哪些是已知的,哪些是未知的,存在怎样的关系? 
        (3)建模,启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系,它们是如何解决的?对此有何帮助? 
        学生讨论后,从特殊的1年、2年……抽象归纳,寻找规律,探讨x年的城市总人口问题:y=100(1+1.2%)x
     2.引导学生将应用问题进行归类 
        为了增强学生的建模能力,在应用问题的教学中,及时结合所学章节,引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型,发挥“定势思维”的积极作用,可顺利解决数学建模的困难,如将高中的应用题归为:①增长率(或减少率)问题;②行程问题;③合力的问题;④排列组合问题;⑤最值问题;⑥概率问题等。这样,学生遇到应用问题时,针对问题情景,就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件,利用联想建立数学模型。 
        3.针对不同内容采取不同教法
        高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面,教学时针对不同内容,有的放矢,各有侧重,就会取得较好的效果。 
        (1)章头序言,指导阅读,留下悬念 
        对图文并茂的章头序言,由教师简单提出或由学生阅读,使学生稍作碰壁,留下解题悬念,增强解决问题的欲望。 
        (2)重视例题的示范作用 
        例题是连接理论知识与问题之间的桥梁,示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系、建模、解决数学问题、还原为实际问题诸环节都应很好地起示范作用,教师应重视例题的分析与讲解,积极进行启发式教学,培养学生分析问题、解决问题、寻求基本实际模型的能力,重视数学理论知识与实际应用的联系。 
        (3)指导练习,巩固方法 
        充分运用课本的练习题、习题、复习题,让学生自己动手、动脑,运用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面,建模方向性强,教师只需稍作指导;而习题则更多利用教师批改作业的机会,主要纠正数学语言转化过程及解题的规范过程;复习题由于综合性强,学生解决有困难,教师要给予必要的指导、提示。 
        (4)课外阅读,补充提高 
        对于不作教学要求的阅读材料,根据教学进度提出阅读要求,布置学生进行课外阅读,培养学生的阅读能力,扩大知识面,激发学生的学习兴趣。 
        (5)研究性课题,重视自主探究 
        “研究性课题”是新教材中的一个专题性栏目,具有探究性和应用性的特点,它既是所学内容的实际综合应用,又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。 
        总之,在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中,应重视介绍数学知识的来龙去脉。 
        一般情况下,数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要,高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活,许多数学知识都有具体直接的应用,如高二运用不等式的性质计算最值、线性规划,高三的概率统计等,应该让学生充分实践和体验这些知识是如何使用的,在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。 
        其次,学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象 
        数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象,让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯,既可以增强学生应用数学的意识,也可以提高学生运用数学的能力。在教学中,需帮助学生形成一个开阔的视野,了解数学对于人类发展的应用价值。在知识实践、能力培养的基础上,教师应主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用,向学生提供丰富的阅读材料,让学生感受到现实生活与数学知识是密切相关、处处联系的。 
        最后,关于应用问题中的算法问题。新教材要求用科学计算器处理、计算数值,在例题、习题中给出的数据都比较复杂,笔者认为高中数学应用题的重点是数学建模,所以,正确建模,明白算法、算理应占主流,一味追求“实际”,多次出现一些复杂数据,会冲淡主要问题的解决。事实上,每节中只要有一两道实际数据的题目,其他的可选择特殊数据或干脆用字母表示,不仅可突出算理,而且会加强应用问题的分析,节省时间,体现字母代数的优越性。

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